Головна » 2013 » Червень » 14 » Математичне доведення: вчора, сьогодні, завтра
12:18
Математичне доведення: вчора, сьогодні, завтра
(Засідання секції математики Будинку Вчених,  23 березня 2010 р, Санкт-Петербург)

Н.А. Вавілов:


    Останнім часом все частіше обговорюється питання про зміну статусу доведення і зменшенні нашої впевненості у справедливості результатів. Критика і скептицизм подібного роду найбільш енергійно, часто і агресивно озвучуються в двох наступних напрямках.
    --- Сумніви в надійності доведень, виконаних за допомогою комп'ютера.
    --- Сумніви в надійності виключно довгих і складних доведень.
    Однак я схильний вірити, що статус важких сучасних результатів --- і їх доведень! --- мало відрізняється від статусу важких математичних результатів попередніх століть. Я готовий проілюструвати численними історичними прикладами, що фактичні математичні доведення НІКОЛИ --- з часів греків --- не задовольняли декларованим стандартам.
    Класичні роботи, як і публікуються сьогодні, сповнені помилок, помилок і прогалин різного ступеня серйозності. Що набагато гірше, часто ці помилки і помилки з покоління в покоління відтворюються в монографіях і підручниках, і їх виявлення в деяких випадках вимагало багатьох десятиліть.
    Слідуючи за Конфуцієм, я запрошую до викриття помилок, а не до їх замазування. Потрібно чесно визнати, що математика є людською діяльністю, метою і результатом якої є розуміння, і мало відрізняється в сенсі своєї надійності від інших видів людської діяльності. Достовірність математичного доказу і його переконливість відноситься до галузі психології та соціології, а не логіки.
    На відміну від будь-яких доказів, математичне знання, як таке, володіє НАДЗВИЧАЙНО високим ступенем надійності. Ця надійність, як і надійність природно-наукового і технічного знання, гарантується аж ніяк не доведенням індивідуальних результатів, а загальною когерентністю математичної та природничо-наукової картини світу, індивідуальним і колективним розумінням і прямим контактом зі світом ідей, яке формується в процесі роботи у кожного кваліфікованого і здібного фахівця.
    Ось, що знають про доказ практикуючі математики, але бояться сказати:
    --- Математичне доведення, ЩО РОЗГЛЯДАЄТЬСЯ ЯК ТЕКСТ, не доводить нічого, окрім факту існування доведення.
    --- Жодне СЕРЙОЗНЕ математичне доведення не може бути повністю формалізовано, тобто записано у відповідності зі стандартами, що пропагандується математичною логікою.
    --- Доказ класифікації простих кінцевих груп володіє НАБАГАТО більш високим ступенем достовірності, ніж докази більшості загальновизнаних класичних результатів в області топології, аналізу або теорії диференціальних рівнянь.
    А що стосується комп'ютерних обчислень, то особисто я схильний довіряти їм більше, ніж будь-яким математичним доказам, ОКРІМ найпростіших.

 Ю.В. Матіясевіч:

    Мої погляди багато в чому протилежні поглядам першого доповідача. Щонайменше 99.999% теорем, доведенних сучасними математиками, виводяться з аксіом теорії множин, і тому ці теореми в принципі можуть бути викладені за всіма канонами математичної логіки. Критерієм може служити вимога, щоб доказ було перевірено комп'ютером.
    Більше того, реальна робота в цьому напрямку ведеться давно, і на цьому шляху досягнуто суттєвого прогресу. Прикладом можуть служити повна формалізація докази першої теореми Геделя про неповноту і теореми про чотири фарбах. Систематичне формальний виклад математики багато років ведеться в рамках проекту MIZAR, результати публікуються в журналі "Formalized mathematics" (http://mizar.org/fm/). Цілі подібної формалізації викладені у вигляді "QED manifesto":

    У другій частині доповіді було расказно про нові поглядах на математичне доведення з точки зору інформатики: інтерактивних доведеннях з "нульовим знанням", доведеннях, які не обов'язково читати цілком, щоб повірити в їх правильність, і т. п.

А Вершик:

Тема засідання дуже цікава і актуальна, і я хочу сказати про один важливий і не порушений в тезах обох доповідачів аспект цієї проблеми. Цей аспект строго кажучи відноситься, так би мовити, до соціально-математичної частини розмови про докази, а не до власне математичної.
Ні в кого (не тільки математиків) немає підстави сумніватися у справедливості, скажімо, основний теореми алгебри. І навіть не тому, що є багато зрозумілих доказів і пр. Більшість цих доказів не знає, і не пам'ятає. А просто тому, що цей результат "ПРИЙНЯТО" математичною спільнотою. А прийнятий, тому що перевірений тисячі разів. У мене є знайомі математики, які стверджують, що вони користуються тільки тими результатами, які вони самі перевіряли. Це звучить дуже гордо, але і наївно. Більш розумне і менш претензійне висловлювання состяло б у тому, що ми користуємося тим, що "прийнято" фахівцями. Основна теорема алгебри, як і сотні інших тверджень, - прийняті. Зрозуміло, є багато прикладів загальних помилок тобто як би прийнятих кимось (Проблема Дюлак, Племель та ін.) Але зауважу, що ці помилки все-таки розсіюються рано чи пізно. І завжди з'ясовується, що справа просто в тому, що співтовариство просто ще не "визнало" цей результат, а точніше, не було незалежної перевірки декількома групами. Ситуація повинна тут бути така ж як і в природничих науках - має бути незалежне повторення експерименту. Але в математиці це означає щось більше, ніж просто перевірку. Як правило це означає, що є інше, альтернативне
доказаьтельство. І тоді результат "прийнятий" не тільки тому що він доведений, а тому що він увійшов в ужиток в цьому напрямку, і став нелобходімим і пов'язаним з іншими областями. Зазвичай для цього потрібен чималий термін.
Все це ясно. Але сучасна проблема складається в тому, щоб усвідомити, більш точно, що означає "прийнятий" і поки що не "прийнятий". Хтось із французів з приводу чисельних експериментів фізиків у дуже важких асимптотичних завданнях, запропонував розрізняти поняття "показати" і "довести" ("montre" і "Demontrer"). У російській мові немає слова "показательство" або "рассказательство" але подібне поняття повинно бути.
Йдеться про статус тверджень, які заслуговують на наукову увагу (і, може бути, навіть якимись авторитетами розглядаються, як доведені),
але ще не прийняті спільнотою. Тобто це не просто гіпотези, як гіпотеза Рімана, але твердження чимось підтверджені - або не повністю перевіреним
доказом або численними обчисленнями (чого для фізиків достатньо). Мені здається, що класифікація простих груп у сучасному вигляді, це саме такий приклад. Справа не в тому, що те, що вважається доказом займає 5.000 сторінок, а в тому, що співтовариство всіх інших математиків ще не може "прийняти" його; доказ ще не запрацював, не завоюв свого місця в алгебрі. Але це вже й не гіпотеза.
Зі статусом таких тверджень пов'язаний і найважливіше практичне питання. Ми чудово знаємо, наскільки великий відсоток недоведених або невірних
тверджень, що публікуються в математичному друці. Як казав мені один член редколегії ДАН, "там їх близько 80%". Адже справжня перевірка робіт і тим більше їх адаптація, т.е осмислення та верифікація неможлива навіть у найкращих журналах.Але й більше того, є чесні автори, які й не стверджують, що результат доведений, але вони зробили нетривіальні кроки в потрібному напрямку.
В існуючому кодексі (математичному) правило єдине: публікувати таку роботу не можна. Це з одного боку безумовно вірно. Але я не думаю, що це 100-відсотково правильна точка зору в цілому. Потрібні спеціальні терміни, спеціальні журнали або спеціальні розділи в журналах і виданнях для таких "неприйнятих" результатів. Думаю, що настав час, коли професійні математики змогли б у своїй друку публікувати і обговорювати свої "показательства" або вагомі міркування і т.д. Зрозуміло, це вимагатиме від них ретельності, може навіть більшою, ніж при публікації "справжніх" доказів, зажадає безумовної чесності і навіть щедрості (не кожен захоче ділитися ідеями). Це зажадає неймовірної роботи редакторів та рецензентів такого журналу для відділення цінних міркувань від порожньої балаканини і компіляцій, але необхідність цього визначається ще й тим, що з усіх наук тільки математика поки ще не мають такої традиції. А в багатьох науках, навпаки, тільки вона й існує. Чи тут небезпеки? Звичайно. Але де її немає? А головна користь - складалася б в економії величезної людської праці математиків, якиа пропадає безслідно, і, не сумніваюся, у прогресі, який може випливти в отриманні вже справжніх рішень і справжніх доказів математичних проблем.

Переглядів: 560 | Додав: statmaster | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]