Головна » 2012 » Травень » 26 » Динамика стратегических игр: математический аспект
13:45
Динамика стратегических игр: математический аспект
1998
Автор - Дмитрий Колядин

Цель дальнейшего повествования - рассмотреть динамику стратегических игр на основе простейших систем дифференциальных уравнений, и провести некий анализ полученных результатов, а затем привести конкретные предложения по улучшению сложившейся ситуации. 

Коротко, основная идея игры: имеются заводы, производящие роботов и технику, задача игроков захватывать эти заводы. Чем больше заводов у игрока, тем быстрее растет его мощь. Таким образом, сила армии (F) прямо пропорциональна контролируемой территории (S). Далее, сформулируем еще одни очевидные закономерности: чем успешнее обороняется и нападает армия, тем лучше обстоят ее дела, и тем быстрее увеличиваются размеры (площадь) контролируемой ею территории (круг замкнулся). Итак, все вышеприведенные соображения можно оформить в виде системы простых дифференциальных уравнений:

Исследуем полученную систему. Но сначала сделаем небольшие замечания. Коэффициенты a и b оба показывают эффективность действия армии игрока, тем не менее в них есть существенная разница. Коэффициент a показывает "качественный", а b "количественный" уровень боеспособности войска. Следует отметить тот факт, что первый член (aF) в правых частях уравнений (1)-(2) ведет свою "родословную" больше от биологии-экологии и химической кинетики, чем от технократической стратегической игрушки, т.к. обеспечивает "размножение" соответствующей переменной F. Другими словами, a есть показатель рождаемости (активирования), а b показатель ингибирования. (К этому вопросу мы еще вернемся). Далее, если при переходе из рук в руки характеристики заводов не меняются, то k1=k2=k, а если в процессе игры площадь суммарной территории S, на которой идет сражение не меняется, то q1=q2=q. Теперь мы можем со знанием дела продвигаться вперед. Первым делом найдем стационарное состояние этой динамической системы, для этого надо приравнять выражения (1)-(4) нулю (это означает, что все производные равны нулю, т.е. нет изменений переменных). Из (3) и (4) F1=F2=F. В результате из (1) и (2) получаем:

Так как по смыслу задачи F>0, то b1>a2 и b2>a1, то это означает, что для достижения равновесной ситуации необходимо, чтобы наступающая армия была эффективней (фактически © сильней) обороняющейся. Очевидно, это нежизненная ситуация, следовательно, в рамках приведенной модели ситуация равновесия недостижима. Другими словами, в игре может быть только победитель и побежденный. Нельзя не отметить, тот факт, что в Первую Мировую войну 1914-1918 гг. ситуация была противоположной, война практически с самого начала приняла позиционный характер, в силу явного превосходства оборонявшихся (именно перед этой войной в Англии был создан всемирно известный скорострельный пулемет системы Максим, появились также эффективные полевые орудия). Большим недостатком приведенной модели служит экспоненциально быстрая расходимость траекторий F1 и F2 с течением времени, при ничтожной разнице в начальных значениях F1 и F2, что и демонстрирует приведенный рисунок 1.

Тем не менее, в рамках и таких простых дифференциальных уравнений можно получить интересные результаты.
Рассмотрим игру Z. Как уже говорилось, коэффициент a можно трактовать как уровень "интеллекта" игрока, коэффициенты b1 и b2 обычно не зависят от игрока (ибо битва имеет характер "стадо на стадо"), а вот k вполне может зависеть от времени. Кстати, из-за "разбегания" F1 и F2 скорее всего и происходила задержка выпуска игры на рынок, для уменьшения этого эффекта k=k(t) в течение игры постепенно увеличивается, и в конце концов выходит на насыщение (т.е. имеет постоянное значение). Процесс прохождения очередного уровня для человека заключается в увеличении коэффициента a. Типичная зависимость F=F(t) приведена на рисунке 2.

Сразу можно сделать вывод: в следующих поколениях игр коэффициенты a и b будут зависеть от времени, что означает наличие обучения у компьютера, подстройки его тактики под действия игрока. Забегая вперед, скажем, что этот принцип построения не является приоритетным при построении нового поколения стратегических игр.
В играх типа C&C нельзя привести четкой зависимости k=k(t) по причине нерегулярности сбора ресурсов, и размещения их на карте. Тем не менее, приведем типичную "диаграмму" игры класса C&C (см. Рис.3).

Следует отметить в Z "главный" коэффициент a, а в C&C - b. Тот, кто играл в эти игры знает разницу между ними.
В рамках данной модели можно получить подтверждение эмпирического закона из области экономики: пришедший на новый рынок сбыта первым имеет все преимущества перед опоздавшими, несмотря на активное сопротивление последних. На рисунке 4 приведена качественная диаграмма описанной ситуации.

Еще больше упростим задачу. Для этого рассмотрим только одну армию.

Продифференцировав первое уравнение по t, и подставив в него второе, получим уравнения колебаний математического маятника:


Решения этого уравнения с течением времени будут уходить на бесконечность, если k(t)>0, q(t)>0. Для нас такой вариант не является подходящим, поэтому необходимо, чтобы с течением времени и увеличением территории "страны" k стал меньше нуля, или точнее таким, как указано в формуле (11). Тогда в силу зависимости k=k(t,S) каждый игрок сможет контролировать только некую область - свою провинцию. Причем площадь всех контролируемых территорий должна быть существенно меньше общей площади, на которой ведется игра (формула (12)). Каким образом добиться такой "хитрой" зависимости k от t и S? Ответ напрашивается сам собой. Во всех современных стратегических игрушках имеется добывающая (перерабатывающая) и производящая промышленность, и при этом начисто отсутствует транспорт. Приведем наглядный пример: в 70-е года прирост ВНП Японии составлял 10% в год, а США только 3-4% в год, и одна из причин такого положения дел была значительно меньшая относительная площадь страны восходящего солнца. Отсюда ясен рецепт: стратегическим играм необходима транспортная отрасль. Такое улучшение игры снизит экспоненциальную расходимость траекторий F(t), влияние начальных данных на исход игры (неравенство F1 и F2 при t=0 ) и добавит больший элемент стратегии. Конечно, при таком подходе придется существенно увеличить размер карты, добавить новые боевые единицы (скажем, авианосцы) и постройки (скажем, железные дороги). При этом хотелось бы видеть один "настоящий" аэродром, а не десять ковриков с пунктирной линией по центру, как в Red Alert. Такое увеличение игрового пространства вполне по "зубам" современным компьютерам (вспомним, что в свое время и Doom воспринимался как чудо), дело в том, что количество техники на поле боя при этом возрастет незначительно (проблема ресурсов останется из-за невозможности собирать "урожай" с очень большой территории), а значит расходы памяти практически не увеличатся. Сравните: Dune2 требовала примерно 1Мб памяти (с хорошим звуком), а современные программы имеют в своем распоряжении примерно 12Мб памяти, плюс пространство на жестком диске), при этом игровое пространство с тех времен выросло не на много.

Выше говорилось об активировании и ингибирования, и обещалось упомянуть об этом позже. Пришло время выполнить обещание. Концепция "провинций", изложенная выше, очень хорошо согласуется с химической кинетикой: для того, чтобы в системе могли образоваться (в результате самоорганизации) структуры, необходимо наличие короткодействующей активации и дальнодействующего ингибирования. Иными словами, легче успешно воевать на своей территории (футбольной команде легче играть на своем поле), чем "давить" врага вдали от родного дома.

В заключении хотелось бы сказать, что это первая попытка подходить к рассмотрению стратегических игр с таких позиций, поэтому "за бортом" повествования могли остаться некоторые спорные и интересные идеи (так, был обойден вниманием вопрос об устойчивости стационарного решения системы (1)-(4)). Обо всех замечаниях и идеях Вы можете писать по email: kolyadin@ffke-campus.mipt.ru
Переглядів: 483 | Додав: statmaster | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]