Головна » 2012 » Квітень » 26 » Дробовий броунівський рух (fBm), як модель для прогнозування фінансових активів
14:52
Дробовий броунівський рух (fBm), як модель для прогнозування фінансових активів


Найпростішою (і найпривабливішою) моделлю випадкових коливань є "броунівський рух"; у такій моделі постулюється безперервність цін і те, що їх послідовні зміни є незалежними гауссівськими випадковими величинами (де попередні зміни ціни не пов'язані з минулими або майбутніми її змінами). Тобто, ринок не має пам'яті, він сприймає інформацію, що надійшла прямо зараз, і миттєво забуває про минулі події. Приклад броунівського руху можна побачити на мал. 1.



Броунівський рух
Мал. 1

У броунівському русі незалежні не положення частки в різні моменти часу - зміщення частки в течії одного проміжку часу не залежить від її ж зміщення протягом іншого інтервалу часу. Збільшивши роздільну здатність мікроскопа і час спостереження, ми знову отримаємо подібне випадкове блукання, самоподобний броунівський рух.


Мал. 2

На мал. 3 показано положення частки, що реєструється на кожному другому кроці процесу з 10000 незалежних кроків. Кожен приріст (інтервал) тут - сума 2 - х незалежних кроків. Цей малюнок показує, як координата частки міняється з часом 2t.


Мал. 3

На мал. 4 показано положення частки, що реєструється на кожному четвертому кроці процесу з 10000 незалежних кроків руху частки. Як видно, що мал. 3 мало чим відрізняється від мал. 4, хіба що часовим масштабом приростів, які тепер стали удвічі більше. На грубому прикладі це можна представити, начебто ми в першому випадки при фіксації точок відривали олівець на 2 секунди, а в другому на 4. Властивість броунівських діаграм не міняти "виду" при зміні роздільної здатності називається масштабною інваріантністю броунівських діаграм.

Мал. 4

І так давайте підведемо невеликий підсумок вище сказаному. Броунівський рух не залежить від минулих подій, проте він самоподібний протягом одного, незалежного від іншого, проміжку часу. Як видно з малюнка 3 і 4, він дуже нагадують хід біржових цін. Поки ми можемо тільки сказати, що є схожість, але броунівський рух описується нормальним розподілом (мал. 5), який не відповідає реальній поведінці цін.


Мал. 5

Нормальний розподіл, також званий розподілом Гауса, - розподіл вірогідності, який грає найважливішу роль в багатьох галузях знань, особливо у фізиці. Фізична величина підкоряється нормальному розподілу, коли вона схильна до впливу величезного числа випадкових перешкод. Ясно, що така ситуація украй поширена, тому можна сказати, що з усіх розподілів, в природі найчастіше зустрічається саме нормальний розподіл - звідси і пішла одна з його назв.

На мал. 6 зображена реалістичніша модель, яка відповідає поведінці фінансових активів.



Мал. 6

Як же може бути так, що ціни все ж є броунівським рухом?

Для того, що б відповісти на поставлене завдання нам необхідно познайомитися з показником Херста.

Гарольд Едвін Херст (1880-1978) - англійський фізик, що став великим "нілологом" і що заслужив на прізвисько Абу Нил, "батько Нілу". Наука зобов'язана йому одним чудовим статистичним винаходом і одним чудовим емпіричним (практичним) відкриттям, які пов'язані з ідеєю про те, що міра інтенсивності деякої хроніки (подій) прагне бути циклічною, але НЕ ПЕРІОДИЧНОЮ, - поведінка, що є один з аспектів довготривалої статистичної залежності минулого від майбутнього.

Тут ми згадаємо про нашу частку, рух якої видається нам броунівським. Ми пам'ятаємо, що координати частки в одному проміжку часу подібні до її ж координат в іншому проміжку, проте поява циклів носить не періодичний характер, т.е ми не знаємо подальше положення частки через певний час t.

Херст ввів нову статистичну техніку, засновану на виразі R(t, d)/S(t, d). Цей метод був названий R/S аналіз. У цій статті ми не розбиратимемо цей метод, оскільки він не має прямого відношення до нашого з вами завдання, для тих кому цікаве застосування цього аналізу до біржових цін можуть прочитати Едгара Петерса "Фрактальний аналіз фінансових ринків". Нас же більше цікавить, результат який отримав Херст використовуючи цей метод.
Емпіричне відкриття Херста полягають в тому, що діаграми R/S, що відносяться до емпіричних хронік, в загальному випадку складаються з кривих, що тісно обвивають деяку пряму, але КУТ нахилу Н цієї прямої змінюється від випадку до випадку. Простіше кажучи різні криві поводяться дуже по-різному, вони розташовуються поблизу деякої прямої, кут нахилу якої, Н, частенько перевершує 0,5 (тобто не відповідає нормальному розподілу). Показник Херста зображений на мал. 7


Мал. 7

Хвилястою лінію зображений часовий ряд (сукупність спостережуваних параметрів системи, що вивчається) цін. Пряма лінія є показником Н (Херста) розташована під кутом зі значенням 0,5

Коли Н = 0,5 графік відповідатиме нормальному розподілу і буде випадковим. Якщо 0<Н< 0,5, то процес є антиперсистентним, - коли висхідна тенденція змінюється низхідною або навпаки, тобто є залежність між рухами часток (цін), але вона є зворотною. При 0,5<Н<1, процес є персистентним, - якщо ми спостерігаємо висхідну тенденцію то в майбутньому вона продовжить своє зростання.

Коли Н зростає від 0,5 до 1, стійкість стає все помітніше. З практичної точки зору це виражається в тому, що виникаючі різнорідні "цикли" - не мають, не забуваємо, ніякого періодичного характеру - розрізняються все ясніше.

Нерівність Н>0,5, виключає гіпотезу про те що усі величини є незалежними і гауссівськими.

Узагальнений броунівський рух був введений Мандельбротом через узагальнення випадкової функції X (випадкові блукання) шляхом заміни показника H = 0,5 на будь-яке дійсне число з інтервалу 0<Н<1.

Узагальнений броунівський рух - це клас гауссівських процесів, що дозволяють показнику Н набувати довільних значень від 0 до 1.

Про що нам це може сказати? Вся річ у тому, що представлення розподілу цін в моделі (мал. 5) Гауса відрізняється від цін представлених фрактальною моделлю (мал. 6)  високим піком і товстими хвостами. При цьому функція з нормальним розподілом (тобто, залежність Гауса) має показник Н = 0,5, тоді як функція відповідна розподілу цін, має показник 0,5<Н<1. Виходить, що ввівши поняття узагальненого броунівського руху, Мандельброт показав, що рух ціни валютних пар є броунівським рухом - звичайним або дробовим. Залежно від значення Н ціна може володіти персистентними або антеперсистентими властивостями.

Показник Н характеризує розмірність (зазубреність тимчасового ряду).


Н=0.2 - висока розмірність (антиперсистентність)


Н=0.9 - низька розмірність (персистентність)

На малюнках ви можете спостерігати дробовий броунівський рух з різним значенням Н. Показник Херста описує одну з властивостей тимчасового ряду і є досить цікавим інструментом для аналізу валютної пари. У цій статті я не підніматиму цю тему детальніше.

Окрім функції дробового броунівського руху, існує ще одна, називається вона функція Вейерштраса - Мандельброта. Ця функція була використана для вивчення поведінки конкретних моделей на Форекс і за допомогою якої було виявлено ряд властивостей для аналізу валютного ринку Форекс.



Алмазов Олексій Олександрович
http://www.adamaz.ru/articles/almazov/164-fraktaly-na-foreks-model-i-cena.html
Переглядів: 1713 | Додав: statmaster | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]